정수론이란 정수의 성질을 연구하는 학문이다. 예를 들어, 유명한 페르마의 마지막 정리, 즉 자연수 에 대해 방정식 은 해를 가지지 않는다는 정리는 정수론의 유명한 결과라고 할 수 있다. 현대의 정수론은 대수학과 해석학 같은 다른 분야의 기법을 통해 연구된다. 이 칼럼에서는 그 중 복소해석학을 주로 사용하는 해석적 정수론, 그중에서도 곱셈적 정수론을 소개해 보고자 한다.

곱셈적 정수론에서는 소수나 쌍둥이 소수, 혹은 제곱 인수가 없는 자연수 등의 분포를 수론적 함수를 통해 알아낸다. 예를 들어 소수의 분포를 연구하기 위해서, 양의 실수 x보다 작거나 같은 소수의 개수를 세는 라는 함수를 연구하는 것이다. 이러한 정수론적 함수를 연구하기 위해 곱셈적 정수론에서는 두 가지 복소함수를 도입한다. 이라는 수론적 함수가 있을 때, 디리클레 급수1를 사용하거나, 혹은 함수가 곱셈적인 경우 급수를 인수분해한 오일러 곱2을 쓴다. 이런 생성함수의 해석적인 성질을 사용하여 수론적 함수의 성질을 다시 유도해내는 것이다.

가장 주요한 예시는 제타 함수 를 사용하여 소수의 분포를 연구하는 것이다. 해석적 정수론의 꽃은 이 제타함수의 정의역을 실수부가 보다 큰 반평면에서, 더 큰 영역으로 해석적 확장하는 데 있다. 확장된 리만 제타 함수는 근들을 가지게 되는데, 이 근들의 정보를 복소해석학(복소 선적분)을 사용해 소수의 분포에 대한 정보로 옮겨올 수 있고, 이를 통해 제타 함수의 근을 연구하는 것으로 소수의 분포를 알아낼 수 있다. 유명한 밀레니엄 문제인 ‘리만 가설’은 제타 함수의 비 자명한 근의 실수부가 전부 라는 가설이며, 1859년에 리만이 제시한 뒤 165년째 풀리지 않고 있다. 만약 이것이 참이라면 우리는 소수 세기 함수 를 정밀하게 근사할 수 있다. 즉 라는 로그 적분 함수를 이용한 근사가 성립한다. 이것은 제타 함수로 얻을 수 있는 어떤 의미에서 최선의 근사라고 할 수 있다. 이 가설은 아직 증명되지 않았지만, 제타 함수를 통해  라는 소수 정리를 증명할 수 있다. 

가장 주요한 예시는 제타 함수3를 사용하여 소수의 분포를 연구하는 것이다. 해석적 정수론의 꽃은 이 제타함수의 정의역을 실수부가 1보다 큰 반평면에서, 더 큰 영역으로 해석적 확장하는 데 있다. 확장된 리만 제타 함수는 근들을 가지게 되는데, 이 근들의 정보를 복소해석학(복소 선적분)을 사용해 소수의 분포에 대한 정보로 옮겨올 수 있고, 이를 통해 제타 함수의 근을 연구하는 것으로 소수의 분포를 알아낼 수 있다. 유명한 밀레니엄 문제인 ‘리만 가설’은 제타 함수의 비 자명한 근의 실수부가 전부 ½이라는 가설이며, 1859년에 리만이 제시한 뒤 165년째 풀리지 않고 있다. 만약 이것이 참이라면 우리는 소수 세기 함수 를 정밀하게 근사할 수 있다. 즉, 로그 적분 함수4를 이용한 근사가 성립한다. 이것은 제타 함수로 얻을 수 있는 어떤 의미에서 최선의 근사라고 할 수 있다. 이 가설은 아직 증명되지 않았지만, 제타 함수를 통해 소수 정리5를 증명할 수 있다.