필즈상을 받은 수학자의 업적
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필즈상을 받은 수학자의 업적
  • 권민성 기자
  • 승인 2014.09.04 01:29
  • 댓글 0
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올해 필즈상 수상자는 아르투르 아빌라, 만줄 바르가바, 마틴 하이러, 마리암 미르자카니로 총 4명이다.

‘수학 개도국’브라질 학위 받은 아빌라
아르투르 아빌라는 동역학계와 해석학에 공헌했다. 그의 첫 번째 업적은 동역학계를 이해하는 데 도움을 준 것이다. 예전부터 물리학자들은 간단한 계에서 어떻게 무질서를 이해할 것인지 고민했다. 어떤 계에서는 한 점이 움직이다 보면 결국 안정한 궤도에 다다랐기 때문에 점의 움직임을 예측하기 쉬웠다. 무질서한 궤적(chaotic trajectory)은 안정한 궤도에 이르지 못해 점의 움직임을 예측하기 어려웠다. 이때 궤도가 안정해지는 계를 정칙적(regular), 무질서한 궤적을 확률적(stochastic)이라고 하는데, 아빌라는 동역학계는 정칙적이거나 확률적이라는 것을 증명했다.

또한, 아빌라는 약한 혼합에 대해 연구했고, 동역학계와 해석학을 관련지어 ‘10잔의 마티니 문제’를 해결하기도 했다.

인도인 최초로 필즈상 수상한 바르가바

만줄 바르가바는 대수적 정수론 분야에 공헌을 했다. 그는 가우스의 연산 법칙을 고차 다항식에까지 확장했다. 가우스 연산 법칙은 대수적 정수론 분야의 기본적인 내용과 관련있다. 바르가바는 고차 다항식의 13가지 연산 법칙을 발견했는데, 이는 오랫동안 발전이 없었던 수의 기하학에 획기적인 발전을 가져왔다.

또한, 바르가바는 확장한 수의 기하학을 통해 초타원 곡선에 대한 성과를 보였다. 초타원 곡선은 y2=(유리수 계수를 가진 다항식) 꼴의 등식이 나타내는 곡선을 뜻하며, 특히 우변이 3차식일 때 그 곡선을 타원 곡선이라고 부른다. 여태껏 초타원 곡선의 우변이 5차 이상일 경우 유리점의 개수가 유한하다는 정리만이 알려졌었고, 3차식 또는 4차식일 때는 그 개수가 유한한지조차 알 수 없었다. 바르가바는 우변이 3차식일 때는 유리점이 1개 있거나 무한히 많은 몇몇 곡선이, 4차식일 때는 유리점이 없거나 무한히 많은 몇몇 곡선이 존재한다는 것을 증명했다. 한편 그는 우변이 5차일 때는 차수가 증가함에 따라 유리점을 가진 곡선의 개수가 어떻게 감소하는지 측정해냈다.

바르가바의 다른 업적에는 290 정리가 있다. 이 정리는 정수를 대입해 모든 정수를 나타낼 수 있는 이차 형식을 어떻게 구하는 지에 대한 것이다. 바르가바는 어떤 이차 형식이 특정한 정수 29개를 표현할 수 있는 정수쌍을 가지면 그 이차 형식은 모든 정수를 나타낼 수 있다는 것을 증명했다.

물리학자 출신 수학자 하이러

마틴 하이러는 확률 편미분 방정식 분야에 업적을 세웠다. 확률 편미분 방정식이란 변수가 2개 이상이고 해가 임의적인 미분방정식이다. 하이러는 비선형 확률 편미분 방정식에 적용할 수 있는 이론을 확립했다. 그가 관심을 가진 것은 비선형 확률 편미분 방정식의 한 종류인 KPZ 방정식이다. 이 식은 물리학적으로는 뭉쳐있는 물체의 표면을 나타내는데, 물체의 표면에서 분자가 임의적인(ramdom) 행동 때문에 불규칙적이다. 하이러의 이론은 물체의 움직임이 무한히 작지 않다는 것에서 출발한다. 즉, 물체의 분자의 임의적 움직임이 무한히 작은 규모로 일어나는 것이 아니라, 계에 비해 비교적 작은 규모로 일어난다는 것이다. 이 가정을 통해 KPZ 방정식의 정확한 해를 구할 수는 없지만, 해에 수렴하는 수열을 만들 수 있다. 하이러는 이 방식을 고차 확률 편미분 방정식에도 적용했다. 그 외에도 하이러는 유체의 움직임을 나타낸 내비어-스톡스 방정식을 이해하는 데에도 이바지했다.

최초의 여성 수상자 미르자카니

마리암 미르자카니의 리만 곡면에 대한 연구는 여러 분야를 연결했다. 어떤 곡면이 복소 해석학을 적용할 수 있는 복소적 구조를 가지면 리만 곡면이라고 부르며, 이는 쌍곡 기하학으로도 해석 가능하다. 따라서 리만 곡면에 대한 연구는 복소 대수적 구조와 쌍곡 구조의 유사성을 밝힐 수 있다. 미르자카니의 성과 중 하나는 쌍곡 곡면상의 닫힌 측지선(geodesic)에 대한 연구다. 측지선이란 두 점을 잇는 최단 곡선을 말한다. 미르자카니는 최대 길이가 L인 닫힌 측지선들이 교차하지 않으면 그 개수는 L의 값, 쌍곡 곡면의 구조, 고리의 개수가 결정한다는 것을 증명했다. 그 외에도 그녀는 동역학계에 대한 연구와 복소 측지선의 규칙성(regularity)을 증명했다.

 


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